Tiesinės ir netiesinės diferencialinės lygtys
Lygtis, kurioje yra bent vienas diferencialo koeficientas arba nežinomo kintamojo darinys, yra žinoma kaip diferencialinė lygtis. Diferencialinė lygtis gali būti tiesinė arba netiesinė. Šio straipsnio tikslas yra paaiškinti, kas yra tiesinė diferencialinė lygtis, kas yra netiesinė diferencialinė lygtis ir koks yra skirtumas tarp tiesinių ir netiesinių diferencialinių lygčių.
Nuo to laiko, kai matematikai, pavyzdžiui, Newtonas ir Leibnitzas, XVIII amžiuje sukūrė skaičiavimus, diferencialinė lygtis suvaidino svarbų vaidmenį matematikos istorijoje. Diferencialinės lygtys turi didelę reikšmę matematikoje dėl jų taikymo srities. Diferencialinės lygtys yra kiekvieno mūsų kuriamo modelio pagrindas, siekiant paaiškinti bet kokį pasaulio scenarijų ar įvykį, nesvarbu, ar jis susijęs su fizika, inžinerija, chemija, statistika, finansine analize ar biologija (sąrašas yra begalinis). Tiesą sakant, kol skaičiavimas netapo nusistovėjusia teorija, tinkamų matematinių įrankių nebuvo galima analizuoti įdomioms gamtos problemoms.
Konkretaus skaičiavimo taikymo gautos lygtys gali būti labai sudėtingos ir kartais jų negalima išspręsti. Tačiau yra tokių, kuriuos galime išspręsti, tačiau jie gali atrodyti panašūs ir painūs. Todėl, norint lengviau identifikuoti, diferencialinės lygtys skirstomos į kategorijas pagal jų matematinį elgesį. Linijinė ir netiesinė yra viena iš tokių kategorijų. Svarbu nustatyti skirtumą tarp tiesinių ir netiesinių diferencialinių lygčių.
Kas yra tiesinė diferencialinė lygtis?
Tarkime, kad f: X → Y ir f (x) = y, diferencialinė lygtis be netiesinių nežinomos funkcijos y ir jos darinių terminų yra žinoma kaip tiesinė diferencialinė lygtis.
Tai nustato sąlygą, kad y negali turėti didesnių indeksinių terminų, tokių kaip y 2, y 3, … ir darinių, tokių kaip
Jame taip pat negali būti netiesinių terminų, tokių kaip Sin y, e y ^ -2 ar ln y. Tai įgauna formą,
kur y ir g yra x funkcijos. Lygtis yra n eilės diferencialinė lygtis, kuri yra aukščiausios eilės išvestinės indeksas.
Tiesinėje diferencialinėje lygtyje diferencialinis operatorius yra tiesinis operatorius, o sprendiniai sudaro vektorinę erdvę. Dėl tiesinio sprendinių rinkinio pobūdžio linijinis sprendinių derinys taip pat yra diferencialinės lygties sprendimas. Tai yra, jei y 1 ir y 2 yra diferencialinės lygties sprendiniai, tai C 1 y 1 + C 2 y 2 taip pat yra sprendimas.
Lygties tiesiškumas yra tik vienas klasifikavimo parametras, ir ją galima toliau skirstyti į homogenines arba nehomogenines ir paprastąsias ar dalines diferencialines lygtis. Jei funkcija yra g = 0, tada lygybė yra tiesinė homogeninė diferencialinė lygtis. Jei f yra dviejų ar daugiau nepriklausomų kintamųjų (f: X, T → Y) ir f (x, t) = y funkcija, tai lygtis yra tiesinė dalinė diferencialinė lygtis.
Diferencialinės lygties sprendimo metodas priklauso nuo diferencialinės lygties tipo ir koeficientų. Lengviausias atvejis atsiranda, kai koeficientai yra pastovūs. Klasikinis šios bylos pavyzdys yra antrasis Niutono judėjimo dėsnis ir įvairios jo taikymo galimybės. Antrasis Niutono dėsnis sukuria antros eilės tiesinę diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais.
Kas yra netiesinė diferencialinė lygtis?
Lygtys, kuriose yra netiesiniai terminai, yra žinomos kaip netiesinės diferencialinės lygtys.
Visa tai yra netiesinės diferencialinės lygtys. Netiesines diferencialines lygtis sunku išspręsti, todėl norint išspręsti teisingą sprendimą reikia atlikti išsamų tyrimą. Dalinių diferencialinių lygčių atveju dauguma lygčių neturi bendro sprendimo. Todėl kiekvieną lygtį reikia vertinti atskirai.
Navierio-Stokeso lygtis ir Eulerio skysčių dinamikos lygtis, Einšteino bendrosios reliatyvumo lauko lygtys yra gerai žinomos netiesinės dalinės diferencialinės lygtys. Kartais taikant Lagrange'o lygtį kintamajai sistemai, gali atsirasti netiesinių dalinių diferencialinių lygčių sistema.
Kuo skiriasi tiesinės ir netiesinės diferencialinės lygtys?
• Diferencialinė lygtis, turinti tik nežinomo ar priklausomo kintamojo ir jo darinių tiesinius terminus, yra žinoma kaip tiesinė diferencialinė lygtis. Jis neturi termino, kurio priklausomas kintamasis yra didesnis nei 1, ir jame nėra nė vieno išvestinių. Jis negali turėti netiesinių funkcijų, tokių kaip trigonometrinės funkcijos, eksponentinės funkcijos ir logaritminės funkcijos priklausomo kintamojo atžvilgiu. Bet kuri diferencialinė lygtis, kurioje yra pirmiau minėti terminai, yra netiesinė diferencialinė lygtis.
• Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimai sukuria vektorinę erdvę, o diferencialinis operatorius taip pat yra tiesinis operatorius vektorinėje erdvėje.
• Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimai yra palyginti lengvesni ir egzistuoja bendrieji sprendimai. Netiesinėms lygtims daugeliu atvejų bendro sprendimo nėra ir sprendimas gali būti būdingas problemai. Tai apsunkina sprendimą kaip tiesines lygtis.
