Tikimybės pasiskirstymo funkcija ir tikimybės tankio funkcija
Tikimybė yra įvykio tikimybė. Ši idėja yra labai įprasta ir dažnai naudojama kasdieniame gyvenime, kai vertiname savo galimybes, sandorius ir daugelį kitų dalykų. Išplėsti šią paprastą koncepciją didesniam įvykių rinkiniui yra šiek tiek sudėtingiau. Pavyzdžiui, mes negalime lengvai išsiaiškinti tikimybės laimėti loteriją, tačiau patogu, o intuityviai sakyti, kad yra tikimybė, kad vienas iš šešių tikėsis, jog mesime šešis numerį išmesdami kauliukus.
Kai įvykių, kurie gali įvykti, skaičius tampa vis didesnis arba individualių galimybių skaičius yra didelis, ši gana paprasta tikimybės idėja žlunga. Todėl, prieš pradedant sudėtingesnes problemas, jai reikia pateikti tvirtą matematinį apibrėžimą.
Kai įvykių, kurie gali įvykti vienoje situacijoje, skaičius yra didelis, neįmanoma kiekvieno įvykio vertinti atskirai, kaip kad išmestų kauliukų pavyzdyje. Taigi visas įvykių rinkinys yra apibendrintas įvedant atsitiktinio kintamojo sąvoką. Tai kintamasis, kuris gali prisiimti skirtingų įvykių vertes toje konkrečioje situacijoje (arba imties erdvėje). Tai suteikia matematinę prasmę paprastiems situacijos įvykiams ir matematinį įvykio sprendimo būdą. Tiksliau, atsitiktinis kintamasis yra tikrosios vertės funkcija virš imties erdvės elementų. Atsitiktiniai kintamieji gali būti diskretiški arba tęstiniai. Paprastai jie žymimi didžiosiomis anglų abėcėlės raidėmis.
Tikimybės skirstinio funkcija (arba paprasčiausiai tikimybės skirstinys) yra funkcija, priskirianti kiekvieno įvykio tikimybės vertes; ty jis pateikia ryšį su reikšmių, kurias gali gauti atsitiktinis kintamasis, tikimybė. Tikimybių pasiskirstymo funkcija apibrėžta atskiriems atsitiktiniams kintamiesiems.
Tikimybės tankio funkcija yra tolygiųjų atsitiktinių kintamųjų tikimybės pasiskirstymo funkcijos ekvivalentas, suteikia tam tikro atsitiktinio kintamojo tikimybę prisiimti tam tikrą vertę.
Jei X yra diskretus atsitiktinis kintamasis, funkcija, pateikta kaip f (x) = P (X = x) kiekvienam x, esančiam X diapazone, vadinama tikimybių pasiskirstymo funkcija. Funkcija gali būti tikimybės skirstymo funkcija tik tada, kai funkcija atitinka šias sąlygas.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Funkcija f (x), apibrėžta realiųjų skaičių aibėje, vadinama nuolatinio atsitiktinio kintamojo X tikimybės tankio funkcija tik tada, jei
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx bet kurioms realioms konstantoms a ir b.
Tikimybės tankio funkcija taip pat turėtų atitikti šias sąlygas.
1. f (x) ≥ 0 visiems x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Tiek tikimybių pasiskirstymo funkcija, tiek tikimybės tankio funkcija naudojama tikimybių pasiskirstymui per imties erdvę atspindėti. Paprastai tai vadinama tikimybių skirstiniais.
Statistiniam modeliavimui išvestos standartinės tikimybės tankio funkcijos ir tikimybių pasiskirstymo funkcijos. Normalusis pasiskirstymas ir standartinis normalusis pasiskirstymas yra nuolatinių tikimybių skirstinių pavyzdžiai. Binominis ir Puasono skirstinys yra diskrečiųjų tikimybių skirstinių pavyzdžiai.
Kuo skiriasi tikimybės pasiskirstymas ir tikimybės tankio funkcija?
• Tikimybės pasiskirstymo funkcija ir tikimybės tankio funkcija yra funkcijos, apibrėžtos imties erdvėje, siekiant priskirti atitinkamą tikimybės vertę kiekvienam elementui.
• Tikimybių pasiskirstymo funkcijos yra apibrėžtos atskiriems atsitiktiniams kintamiesiems, o tikimybės tankio funkcijos - tęstiniams atsitiktiniams kintamiesiems.
• Tikimybės reikšmių (ty tikimybių skirstinių) pasiskirstymą geriausiai vaizduoja tikimybės tankio funkcija ir tikimybės pasiskirstymo funkcija.
• Tikimybės pasiskirstymo funkciją galima pateikti kaip vertes lentelėje, tačiau tai neįmanoma tikimybės tankio funkcijai, nes kintamasis yra tęstinis.
• Nubrėžus tikimybės pasiskirstymo funkciją, gaunama juostinė diagrama, o tikimybės tankio funkcija - kreivė.
• Tikimybės skirstymo funkcijos juostų aukštis / ilgis turi būti padidintas iki 1, o plotas po tikimybės tankio funkcijos kreive - prie 1.
• Abiem atvejais visos funkcijos reikšmės turi būti ne neigiamos.
