Diskreti funkcija ir tęstinė funkcija
Funkcijos yra viena iš svarbiausių matematinių objektų klasių, kuri yra plačiai naudojama beveik visose matematikos dalyse. Jų pavadinimai rodo, kad tiek atskiros, tiek tęstinės funkcijos yra du specialūs funkcijų tipai.
Funkcija yra ryšys tarp dviejų aibių, apibrėžtų taip, kad kiekvieno pirmojo rinkinio elemento vertė, atitinkanti jį antrojoje aibėje, yra unikali. Tegu f yra funkcija, apibrėžta iš aibės A į rinkinį B. Tada kiekvienam x ϵ A simbolis f (x) žymi unikalią reikšmę rinkinyje B, kuri atitinka x. Jis vadinamas x atvaizdu po f. Todėl santykis f iš A į B yra funkcija, jei ir tik tuo atveju, kiekvienas xϵ A ir y ϵ A; jei x = y, tada f (x) = f (y). Aibė A vadinama funkcijos f sritimi ir tai yra rinkinys, kuriame apibrėžta funkcija.
Pvz., Apsvarstykite santykį f iš R į R, apibrėžtą f (x) = x + 2 kiekvienam xϵ A. Tai yra funkcija, kurios sritis yra R, nes kiekvienam tikram skaičiui x ir y x = y reiškia f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Bet ryšys g nuo N iki N, apibrėžtas g (x) = a, kur „a“yra pagrindiniai x veiksniai, nėra funkcija kaip g (6) = 3, taip pat g (6) = 2.
Kas yra diskreti funkcija?
Diskreti funkcija yra funkcija, kurios sritis yra daugiausia suskaičiuojama. Paprasčiausiai tai reiškia, kad galima sudaryti sąrašą, kuriame būtų visi domeno elementai.
Bet koks baigtinis rinkinys yra daugiausiai suskaičiuojamas. Natūraliųjų skaičių aibė ir racionaliųjų skaičių aibė yra daugiausiai suskaičiuojamų begalinių aibių pavyzdžiai. Tikrųjų skaičių ir iracionaliųjų skaičių aibė negali būti suskaičiuota. Abu rinkiniai nesuskaičiuojami. Tai reiškia, kad neįmanoma sudaryti sąrašo, kuriame būtų visi tų rinkinių elementai.
Viena iš labiausiai paplitusių diskrečių funkcijų yra faktoriaus funkcija. f: NU {0} → N rekursyviai apibrėžtas f (n) = nf (n-1) kiekvienam n ≥ 1, o f (0) = 1 vadinama faktoriaus funkcija. Atkreipkite dėmesį, kad jo domenas NU {0} yra daugiausia suskaičiuojamas.
Kas yra nepertraukiama funkcija?
Tegu f yra tokia funkcija, kad kiekvienam k f srityje, f (x) → f (k) kaip x → k. Tada f yra ištisinė funkcija. Tai reiškia, kad galima padaryti f (x) savavališkai artimą f (k) padarius x pakankamai arti k kiekvienam f f srityje.
Apsvarstykite funkciją f (x) = x + 2, esančią R. Galima pastebėti, kad kaip x → k, x + 2 → k + 2 tai yra f (x) → f (k). Todėl f yra ištisinė funkcija. Dabar apsvarstykite teigiamų realiųjų skaičių g (x) = 1, jei x> 0, ir g (x) = 0, jei x = 0. Tada ši funkcija nėra tęstinė funkcija, nes neegzistuoja g (x) riba (taigi jis nėra lygus g (0)) kaip x → 0.
Kuo skiriasi diskretiška ir nepertraukiama funkcija?
• Diskrečioji funkcija yra funkcija, kurios sritis yra daugiausiai suskaičiuojama, tačiau tai nebūtina esant tęstinėms funkcijoms.
• Visos tęstinės funkcijos ƒ turi savybę, kuri ƒ (x) → ƒ (k) yra x → k kiekvienam x ir kiekvienam k srities ƒ srityje, tačiau taip nėra kai kuriose atskirose funkcijose.
