Skirtumas Tarp „Power Series“ir „Taylor Series“

2024 Autorius: Mildred Bawerman | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-09 22:10

„Power Series“ir „Taylor“serijos

Matematikoje tikroji seka yra sutvarkytas realiųjų skaičių sąrašas. Formaliai tai yra funkcija nuo natūralių skaičių aibės iki realiųjų skaičių aibės. Jei _n yra n ^-tasis sekos terminas, seką žymime ženklu ₁, ₂,…, a _n, …. Pavyzdžiui, apsvarstykite seką 1, ½, ⅓,…, ¹ / _n, …. Tai gali būti žymima kaip {1 / n}.

Naudojant sekas galima apibrėžti seriją. Serija yra sekos terminų suma. Todėl kiekvienai sekai yra susieta seka ir atvirkščiai. Jei nagrinėjama seka yra {a _n}, tada tos sekos suformuotą seriją galima pavaizduoti taip:

Tokiu būdu, pavyzdyje aukščiau, su ja susijusi serija yra 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _n + ….

Kaip rodo pavadinimai, galios eilutės yra specialus serijų tipas ir jos plačiai naudojamos skaitinėje analizėje ir susijusiame matematiniame modeliavime. „Taylor“serija yra speciali jėgos serija, suteikianti alternatyvų ir lengvai valdomą būdą gerai žinomoms funkcijoms vaizduoti.

Kas yra „Power“serija?

Galios serija yra formos serija

kuris yra konvergencinis (galbūt) tam tikram intervalui, kurio centras yra c. Koeficientai a _n gali būti tikrieji arba sudėtiniai skaičiai ir nepriklausomi nuo x; ty manekeno kintamasis.

Pavyzdžiui, kiekvienam n nustatant _n = 1 ir c = 0, gaunama galios eilutė 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +…. Lengva pastebėti, kad kai x ε (-1,1), ši galios eilutė sutampa su 1 / (1-x).

Galios eilutė suartėja, kai x = c. Kitos x vertės, kurioms konverguoja galios eilutės, visada bus atviro intervalo formos, kurios centras yra c. Tai reiškia, kad bus vertė 0≤ R ≤ ∞ tokia, kad kiekvienam x, patenkinančiam | xc | ≤ R, galios eilutė yra konvergentiška, o kiekvienam x, kuris tenkina | xc |> R, galios eilutės yra skirtingos. Ši vertė R vadinama galios eilių konvergencijos spinduliu (R gali turėti bet kokią realią vertę arba teigiamą begalybę).

Galios serijas galima sudėti, atimti, padauginti ir padalyti naudojant šias taisykles. Apsvarstykite dvi galios serijas:

Tada

ty panašūs terminai pridedami arba atimami kartu. Be to, galima padauginti ir padalyti dvi galios eilutes naudojant tapatybę,

Kas yra „Taylor“serija?

Tayloro eilutė yra apibrėžta funkcijai f (x), kuri yra be galo diferencijuojama intervalais. Tarkime, kad f (x) yra diferencijuojamas intervale, kurio centras yra c. Tada galios serija, kurią suteikia

vadinamas Tayloro serijos funkcijos f (x) išplėtimu apie c. (Čia f ⁽ⁿ⁾ (c) žymi n ^-ąjį darinį ties x = c). Atliekant skaitinę analizę, skaičiuojant reikšmes taškuose, kur eilutė konverguoja su pradine funkcija, naudojamas galutinis šio begalinio išplėtimo terminų skaičius.

Sakoma, kad funkcija f (x) yra analitinė intervale (a, b), jei kiekvienam x ε (a, b) Tayloro f (x) eilutė suartėja su funkcija f (x). Pvz., 1 / (1-x) yra analizuojamas (-1,1), nes jo Tayloro plėtra 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… konverguoja į funkciją tuo intervalu, o e ^x yra visur analitinis, nes Taylor e ^x eilutė sutampa su e ^x kiekvienam realiajam skaičiui x.