Atsitiktiniai kintamieji ir tikimybės pasiskirstymas
Statistiniai eksperimentai yra atsitiktiniai eksperimentai, kuriuos galima pakartoti neribotą laiką su žinomu rezultatų rinkiniu. Su tokiais eksperimentais siejami tiek atsitiktiniai kintamieji, tiek tikimybių pasiskirstymai. Kiekvienam atsitiktiniam kintamajam yra susijęs tikimybių pasiskirstymas, kurį apibrėžia funkcija, vadinama kaupiamojo pasiskirstymo funkcija.
Kas yra atsitiktinis kintamasis?
Atsitiktinis kintamasis yra funkcija, priskirianti skaitines vertes statistinio eksperimento rezultatams. Kitaip tariant, tai yra funkcija, apibrėžta iš statistinio eksperimento imties erdvės į realiųjų skaičių aibę.
Pvz., Apsvarstykite atsitiktinį monetos apvertimo eksperimentą du kartus. Galimi rezultatai yra HH, HT, TH ir TT (H galvutės, T pasakos). Tegul kintamasis X yra eksperimente stebimų galvučių skaičius. Tada X gali gauti reikšmes 0, 1 arba 2, ir tai yra atsitiktinis kintamasis. Čia atsitiktinis kintamasis X atvaizduos rinkinį S = {HH, HT, TH, TT} (pavyzdžio erdvė) prie aibės {0, 1, 2} taip, kad HH būtų susietas su 2, HT ir TH yra susietos su 1, o TT susietos su 0. Funkcijos žymėjime tai gali būti parašyta taip: X: S → R kur X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 ir X (TT) = 0.
Yra dviejų tipų atsitiktiniai kintamieji: diskretūs ir tolydūs, atitinkamai galimų reikšmių, kurias atsitiktinis kintamasis gali prisiimti, skaičius yra daugiausiai suskaičiuojamas arba ne. Ankstesniame pavyzdyje atsitiktinis kintamasis X yra diskretus atsitiktinis kintamasis, nes {0, 1, 2} yra baigtinis rinkinys. Dabar apsvarstykite statistinį eksperimentą, kaip surasti klasės mokinių svorį. Tegu Y yra atsitiktinis kintamasis, apibrėžtas kaip studento svoris. Y gali paimti bet kokią realią vertę per tam tikrą intervalą. Vadinasi, Y yra nuolatinis atsitiktinis kintamasis.
Kas yra tikimybių skirstinys?
Tikimybių pasiskirstymas yra funkcija, apibūdinanti atsitiktinio kintamojo tikimybę gauti tam tikras reikšmes.
Funkciją, vadinamą kaupiamojo pasiskirstymo funkcija (F), galima apibrėžti nuo realiųjų skaičių aibės iki realiųjų skaičių aibės kaip F (x) = P (X ≤ x) (tikimybė, kad X bus mažesnė arba lygi x) kiekvienas galimas rezultatas x. Dabar X kaupiamoji pasiskirstymo funkcija pirmame pavyzdyje gali būti parašyta kaip F (a) = 0, jei a <0; F (a) = 0,25, jei 0≤a <1; F (a) = 0,75, jei 1≤a <2 ir F (a) = 1, jei a ≥2.
Atskirų atsitiktinių kintamųjų atveju funkciją galima apibrėžti nuo galimų rezultatų rinkinio iki realiųjų skaičių aibės taip, kad ƒ (x) = P (X = x) (tikimybė, kad X bus lygus x) kiekvienam galimam rezultatui x. Ši konkreti funkcija ƒ vadinama atsitiktinio kintamojo X tikimybės masės funkcija. Dabar X tikimybės masės funkciją pirmame konkrečiame pavyzdyje galima parašyti kaip ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, o ƒ (x) = 0 kitaip. Taigi tikimybės masės funkcija kartu su kaupiamojo pasiskirstymo funkcija apibūdins X tikimybės pasiskirstymą pirmajame pavyzdyje.
Nuolatinių atsitiktinių kintamųjų atveju funkciją, vadinamą tikimybės tankio funkcija (ƒ), galima apibrėžti kaip ƒ (x) = dF (x) / dx kiekvienam x, kur F yra tęstinio atsitiktinio kintamojo kaupiamoji pasiskirstymo funkcija. Lengva pastebėti, kad ši funkcija tenkina ∫ƒ (x) dx = 1. Tikimybės tankio funkcija kartu su kaupiamojo pasiskirstymo funkcija apibūdina nenutrūkstamo atsitiktinio kintamojo tikimybių pasiskirstymą. Pavyzdžiui, įprastas pasiskirstymas (kuris yra nenutrūkstamas tikimybių pasiskirstymas) apibūdinamas naudojant tikimybės tankio funkciją ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Kuo skiriasi atsitiktiniai kintamieji ir tikimybių pasiskirstymas?
• Atsitiktinis kintamasis yra funkcija, susiejanti pavyzdžio erdvės reikšmes su realiuoju skaičiumi.
• Tikimybių pasiskirstymas yra funkcija, susiejanti reikšmes, kurias atsitiktinis kintamasis gali paimti, į atitinkamą įvykio tikimybę.
