„Riemann Integral“ir „Lebesgue Integral“
Integracija yra pagrindinė skaičiavimo tema. Broderio prasme integracija gali būti vertinama kaip atvirkštinis diferenciacijos procesas. Modeliuojant realaus pasaulio problemas, lengva parašyti posakius, susijusius su dariniais. Esant tokiai situacijai, norint rasti funkciją, kuri davė konkretų darinį, reikalinga integravimo operacija.
Žvelgiant iš kito kampo, integracija yra procesas, apibendrinantis funkcijos ƒ (x) ir δx sandaugą, kur δx paprastai yra tam tikra riba. Štai kodėl integracijos simbolį naudojame kaip ∫. Simbolis ∫ iš tikrųjų yra tas, kurį gauname ištempdami raidę s, nurodydami sumą.
„Riemann Integral“
Apsvarstykite funkciją y = ƒ (x). Y integralas tarp a ir b, kur a ir b priklauso aibei x, rašomas b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Tai vadinama atskiros vertinamos ir tęstinės funkcijos y = ƒ (x) tarp a ir b apibrėžtu integralu. Tai suteikia plotą po kreive tarp a ir b. Tai dar vadinama „Riemann“integralu. „Riemann“integralą sukūrė Bernhardas Riemannas. „Riemann“nenutrūkstamos funkcijos integralas remiasi Jordano matu, todėl jis taip pat apibrėžiamas kaip funkcijos „Riemann“sumų riba. Realiai vertinamai funkcijai, apibrėžtai uždaru intervalu, funkcijos „Riemann“integralas skaidinio x 1, x 2,…, x n atžvilgiuapibrėžta intervale [a, b] ir t 1, t 2,…, t n, kur x i ≤ t i ≤ x i + 1 kiekvienam i ε {1, 2,…, n}, apibrėžta Riemanno suma kaip Σ i = o iki n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
„Lebesgue“yra dar vienas integralo tipas, apimantis įvairiausius atvejus, nei „Riemann“integralas. Lebesgue integralą įvedė Henri Lebesgue 1902 m. Legesgue integraciją galima laikyti Riemann integracijos apibendrinimu.
Kodėl turime studijuoti dar vieną integralą?
Panagrinėkime charakteristinę funkciją ƒ A (x) = { 0, jei, x ne ε A 1 jei, x ε A rinkinyje A. Tada baigtinis tiesinis būdingų funkcijų derinys, kuris apibrėžiamas kaip F (x) = Σ a i ƒ E i (x) vadinama paprasta funkcija, jei E i yra išmatuojama kiekvienam i. F (x) Lebesgue'o integralas virš E žymimas E ∫ ƒ (x) dx. Funkcija F (x) nėra integruojama į „Riemann“. Todėl Lebesgue'o integralas performuluoja Riemanno integralą, kuris turi tam tikrų apribojimų integruotinoms funkcijoms.
Kuo skiriasi „Riemann Integral“ir „Lebesgue Integral“?
· Lebesgue'o integralas yra Riemanno integralo apibendrinimo forma.
· Lebesgue'o integralas leidžia suskaičiuoti begalybę nenutrūkstamumų, o Riemanno integralas - ribotą skaičių tęstinumų.
