Kardinolas vs eilinis
Kasdieniniame gyvenime skaičiai įvairiose situacijose gali būti skirtingi. Pavyzdžiui, skaičiuodami objektų rinkinio dydį, mes juos skaičiuojame kaip vieną, du, tris ir pan. Kai norime ką nors suskaičiuoti, kad gautume objektų padėties pojūtį, mes juos skaičiuojame kaip pirmą, antrą, trečią ir t. Pirmoje skaičiavimo formoje sakoma, kad skaičiai yra kardinalūs skaičiai. Antroje skaičiavimo formoje skaičiai laikomi eiliniais skaičiais. Šiame kontekste sąvokos kardinalas ir eilinis yra visiškai lingvistikos klausimas; kardinolas ir eilinis yra būdvardžiai.
Tačiau sąvokos išplėtimas į rinkinius matematikoje atskleidžia daug gilesnę ir platesnę perspektyvą ir negali būti traktuojamas paprastai. Šiame straipsnyje mes pabandysime suprasti pagrindines matematikos kardinalių ir eilinių skaičių sąvokas.
Formalūs kardinalių ir eilinių skaičių apibrėžimai pateikiami aibės teorijoje. Apibrėžimai yra sudėtingi ir norint juos suprasti, reikia bendrų žinių rinkinio teorijoje. Todėl pasuksime poros pavyzdžių link, kad suprastume sąvokas euristiškai.
Apsvarstykite du rinkinius {1,3,6,4,5,2} ir {autobusas, automobilis, keltas, traukinys, lėktuvas, sraigtasparnis}. Kiekvienas rinkinys pateikia elementų rinkinį ir, jei suskaičiuosime elementų skaičių, akivaizdu, kad kiekvienas jų turi tą patį elementų skaičių, kuris yra 6. Priimdami šią išvadą, mes paėmėme vieno rinkinio dydį ir palyginome jį su kitu naudodami numeris. Toks skaičius vadinamas kardinaliuoju skaičiumi. Todėl galime sakyti, kad kardinalusis skaičius yra skaičius, kurį galime naudoti baigtinių rinkinių dydžiui palyginti.
Vėlgi, pirmasis skaičių rinkinys gali būti išdėstytas didėjimo tvarka, atsižvelgiant į kiekvieno elemento dydį ir juos lyginant. Užsakymo metu skaičiai laikomi kardinolais. Lygiai taip pat visų nenegatyvių sveikųjų skaičių aibė gali būti išdėstyta rinkinyje; ty {0,1,2,3,4, …..}. Bet šiuo atveju rinkinio dydis tampa begalinis, o jo pateikti pagal ordinalus neįmanoma. Nesvarbu, kokį didelį skaičių pasirinksite, kad gautumėte rinkinio dydį, vis tiek iš pasirinkto rinkinio liks skaičiai, kurie nėra neigiami sveikieji skaičiai.
Todėl matematikai šį begalinį kardinolą (kuris yra pirmasis) apibrėžia kaip Aleph-0, parašytą kaip א (pirmoji raidė hebrajų abėcėlėje). Formaliai eilinis skaičius yra gerai sutvarkyto rinkinio eilės tipas. Todėl baigtinių aibių eilės skaičių galima pateikti kardinaliaisiais skaičiais, tačiau begalinių aibių eilės skaičius pateikiamas transfinitiniais skaičiais, tokiais kaip Aleph-0.
Kuo skiriasi kardinolas ir eilės numeris?
• Kardinalinis numeris yra skaičius, kuriuo galima suskaičiuoti arba nurodyti baigtinio rinkinio dydį. Visi kardinalūs skaičiai yra eiliniai.
• Eiliniai skaičiai yra skaičiai, naudojami norint pateikti tiek baigtinių, tiek begalinių rinkinių dydį. Baigtųjų rinkinių dydį nurodo įprasti indų-arabų algebriniai skaitmenys, o begalinį rinkinių dydį - transfinitiniai skaičiai.
