Išvestinė ir diferencialinė
Diferenciniame skaičiavime funkcijos išvestinis ir diferencialas yra glaudžiai susiję, tačiau turi labai skirtingas reikšmes ir naudojami dviem svarbiems matematiniams objektams, susijusiems su diferencijuojamomis funkcijomis, pavaizduoti.
Kas yra išvestinė priemonė?
Funkcijos išvestinis matuoja greitį, kuriuo keičiasi funkcijos vertė, kai keičiasi jos įvestis. Įvairių kintamųjų funkcijose funkcijos vertės pokytis priklauso nuo nepriklausomų kintamųjų reikšmių kitimo krypties. Todėl tokiais atvejais pasirenkama konkreti kryptis ir diferencijuojama funkcija būtent ta kryptimi. Tas darinys vadinamas kryptiniu išvestiniu. Daliniai dariniai yra speciali krypčių darinių rūšis.
Vektoriaus vertinamos funkcijos f darinys gali būti apibrėžtas kaip riba,
kur ji egzistuoja galutinai. Kaip minėta anksčiau, tai suteikia mums funkcijos f padidėjimo greitį išilgai vektoriaus u krypties. Vienos vertės funkcijos atveju tai sumažėja iki gerai žinomo išvestinės apibrėžimo,
Pavyzdžiui,
yra visur diferencijuojamas, o išvestinė yra lygi ribai
kuri yra lygi
. Funkcijų išvestinės, tokios kaip
yra visur. Jie yra atitinkamai lygūs funkcijoms
Tai žinoma kaip pirmasis darinys. Paprastai pirmasis funkcijos f darinys žymimas f (1). Dabar naudojant šį žymėjimą galima apibrėžti aukštesnės eilės išvestinius.
yra antrosios eilės krypties darinys ir žymi n -ąjį darinį f (n) kiekvienam n
apibūdina n -ąjį darinį.
Kas yra skirtumas?
Funkcijos skirtumas rodo funkcijos pokytį, atsižvelgiant į nepriklausomo kintamojo ar kintamųjų pokyčius. Įprastoje žymėjime, nurodytai vieno kintamojo x funkcijai f, 1 df eilės bendras skirtumas nurodomas
,. Tai reiškia, kad be galo mažam x (ty dx) pokyčiui f bus af (1) (x) dx pokytis.
Naudojant ribas, šis apibrėžimas gali baigtis taip. Tarkime, kad ∆ x yra x pokytis pasirinktame taške x, o ∆ f yra atitinkamas funkcijos f pokytis. Galima parodyti, kad ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, kur ϵ yra klaida. Dabar riba ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (naudojant anksčiau pateiktą išvestinės apibrėžimą), taigi, ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Todėl galima Padarykite išvadą, kad ∆ x → 0 ϵ = 0. Dabar, žymint ∆ x → 0 ∆ f kaip df ir ∆ x → 0 ∆ x kaip dx, diferencialo apibrėžimas yra tiksliai gautas.
Pavyzdžiui, funkcijos skirtumas
yra
Dviejų ar daugiau kintamųjų funkcijų atveju bendras funkcijos skirtumas yra apibrėžiamas kaip kiekvieno nepriklausomo kintamojo krypčių skirtumų suma. Matematiškai galima teigti
Kuo skiriasi išvestinė ir diferencinė?
• Išvestinis reiškia funkcijos pasikeitimo greitį, o skirtumas - faktinį funkcijos pasikeitimą, kai keičiasi nepriklausomas kintamasis.
• Išvestinę išduoda
bet skirtumą pateikia
