Asociatyvus vs komunikacinis
Kasdienybėje turime naudoti skaičius, kai tik reikia kažko įvertinti. Maisto prekių parduotuvėje, degalinėje ir net virtuvėje turime pridėti, atimti ir padauginti du ar daugiau kiekių. Iš savo praktikos šiuos skaičiavimus atliekame gana lengvai. Mes niekada nepastebime ir nesuabejojame, kodėl būtent taip atliekame šias operacijas. Arba kodėl šie skaičiavimai negali būti atliekami kitaip. Atsakymas yra paslėptas taip, kaip šios operacijos yra apibrėžtos matematiniame algebros lauke.
Algebroje operacija, apimanti du dydžius (pvz., Sudėjimą), apibrėžiama kaip dvejetainė operacija. Tiksliau, tai operacija tarp dviejų elementų iš aibės ir šie elementai vadinami „operandu“. Daugelį matematikos operacijų, įskaitant anksčiau minėtas aritmetines operacijas, ir tas, su kuriomis susidurta aibių teorijoje, tiesinėje algebroje ir matematinėje logikoje, galima apibrėžti kaip dvejetaines operacijas.
Yra tam tikrų dvejetainių operacijų valdymo taisyklių rinkinys. Asociatyviosios ir komutacinės savybės yra dvi pagrindinės dvejetainių operacijų savybės.
Daugiau apie „Commutative Property“
Tarkime, kad elementams A ir B atliekama tam tikra dvejetainė operacija, žymima simboliu ⊗. Jei operandų tvarka neturi įtakos operacijos rezultatui, sakoma, kad operacija yra komutacinė. ty jei A ⊗ B = B ⊗ A, tai operacija yra komutacinė.
Aritmetinių operacijų pridėjimas ir dauginimas yra komutaciniai. Sudėtų ar padaugintų skaičių tvarka neturi įtakos galutiniam atsakymui:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Bet dalijimosi atveju eiliškumo pokytis suteikia kito abipusį, o atimant pokytį - kito neiginį. Todėl, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 ir 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 ir 5 ÷ 4 = 1,25 [šiuo atveju A, B ≠ 1 ir 0]
Tiesą sakant, atimtis yra sakoma prieš komutatyvią; kur A - B = - (B - A).
Loginiai jungiamieji elementai, jungtukas, disjunkcija, implikacija ir ekvivalentiškumas taip pat yra komutaciniai. Tiesos funkcijos taip pat yra komutacinės. Nustatyta operacijų sąjunga ir sankryža yra komutaciniai. Vektorių pridėjimas ir skaliarinis sandauga taip pat yra komutaciniai.
Bet vektoriaus atimtis ir vektoriaus sandauga nėra komutaciniai (dviejų vektorių vektorių sandauga yra antikomutacinė). Matricos pridėjimas yra komutacinis, tačiau dauginimas ir atimimas nėra komutaciniai. (Dviejų matricų padauginimas gali būti komutacinis ypatingais atvejais, pvz., Matricos padauginimas su atvirkštine arba tapatumo matrica; bet matricos tikrai nėra komutacinės, jei matricos nėra vienodo dydžio)
Daugiau apie asociacinę nuosavybę
Dvejetainė operacija laikoma asociatyvia, jei vykdymo tvarka neturi įtakos rezultatui, kai yra du ar daugiau operatoriaus įvykių. Apsvarstykite elementus A, B ir C bei dvejetainę operaciją ⊗. Teigiama, kad operacija assoc yra asociatyvi, jei
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Iš pagrindinių aritmetinių funkcijų asociacija yra tik sudėjimas ir dauginimas.
A + (B + C) = (A + B) + C 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C × 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Atimtis ir dalyba nėra asociatyvūs;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C 4 - (5 - 3) = 2 ir (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 ir (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Loginiai jungiamieji disjunkcija, jungtys ir ekvivalentiškumas yra asociatyvūs, taip pat nustatytų operacijų sąjunga ir sankirta. Matrica ir vektoriaus papildymas yra asociatyvūs. Vektorių skaliarinė sandauga yra asociatyvi, tačiau vektoriaus sandauga nėra. Matricos dauginimas yra asociatyvus tik esant ypatingoms aplinkybėms.
Kuo skiriasi komutacinė ir asociacinė nuosavybė?
• Tiek asociacinė, tiek komutacinė savybė yra specialiosios dvejetainių operacijų savybės, ir kai kurios jas tenkina, o kai kurios ne.
• Šios savybės gali būti matomos įvairiomis algebrinių operacijų formomis ir kitomis dvejetainėmis matematikos operacijomis, tokiomis kaip aibių teorijos susikirtimas ir susivienijimas arba loginiai ryšiai.
• Skirtumas tarp komutacinio ir asociatyviojo yra tas, kad komutacinė savybė teigia, kad elementų eiliškumas galutinio rezultato nekeičia, o asociacinė ypatybė teigia, kad operacijos atlikimo tvarka neturi įtakos galutiniam atsakymui.
