Neapibrėžti ir neapibrėžti integralai
Skaičiavimas yra svarbi matematikos šaka, o diferencijavimas vaidina kritinį vaidmenį skaičiuojant. Atvirkštinis diferenciacijos procesas yra žinomas kaip integracija, o atvirkštinis - kaip integralas, arba paprasčiau tariant, atvirkštinis diferenciacija suteikia integralą. Pagal gautus rezultatus integralai skirstomi į dvi klases; apibrėžti ir neapibrėžti integralai.
Daugiau apie neapibrėžtus integralus
Neapibrėžtas integralas yra labiau bendra integracijos forma, ir jį galima interpretuoti kaip svarstomos funkcijos išvestinę. Tarkime, kad diferencijuojant F gaunama f, o integravus f - integralas. Tai dažnai rašoma kaip F (x) = ∫ƒ (x) dx arba F = ∫ƒ dx, kur F ir ƒ yra x funkcijos, o F yra diferencijuojama. Aukščiau pateikta forma jis vadinamas Reimanno integralu, o gaunama funkcija lydi savavališką konstantą. Neapibrėžtas integralas dažnai sukuria funkcijų šeimą; todėl integralas yra neapibrėžtas.
Diferencialinių lygčių sprendimo esmė yra integralai ir integracijos procesas. Tačiau, skirtingai nei diferencijavimas, integracija vyksta ne visada aiškiai ir standartiškai; kartais sprendimo negalima aiškiai išreikšti elementaria funkcija. Tokiu atveju analitinis tirpalas dažnai pateikiamas neapibrėžto integralo pavidalu.
Daugiau apie „Definite Integrals“
Apibrėžtieji integralai yra labai vertinami neapibrėžtų integralų atitikmenys, kur integracijos procesas iš tikrųjų sukuria baigtinį skaičių. Grafiškai jį galima apibrėžti kaip plotą, kurį riboja funkcijos ƒ kreivė per tam tikrą intervalą. Kai integracija yra atliekama per tam tikrą intervalą nepriklausomo kintamojo, integracija gamina tam tikrą vertę, kurią dažnai parašytas kaip per ∫ b ƒ (x) dx ar ∫ b ƒdx.
Neapibrėžtieji integralai ir apibrėžtieji integralai yra tarpusavyje susiję per pirmąją pagrindinę skaičiavimo teoremą ir tai leidžia apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą naudojant neapibrėžtus integralus. Teorema nurodo a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a), kur F ir both yra x funkcijos, o F yra diferencijuojamas intervale (a, b). Atsižvelgiant į intervalą, a ir b yra atitinkamai žinomi kaip apatinė ir viršutinė ribos.
Užuot sustabdžius tik realias funkcijas, integraciją galima išplėsti į sudėtingas funkcijas, o tie integralai vadinami kontūro integralais, kur ƒ yra kompleksinio kintamojo funkcija.
Kuo skiriasi apibrėžtieji ir neapibrėžtieji integralai?
Neapibrėžti integralai atspindi funkcijos išvestį ir dažnai funkcijų šeimą, o ne apibrėžtą sprendimą. Tikruose integraluose integracija suteikia baigtinį skaičių.
Neapibrėžti integralai susieja savavališką kintamąjį (taigi ir funkcijų šeimą), o apibrėžtieji integralai turi ne savavališką konstantą, o viršutinę ir apatinę integracijos ribas.
Neapibrėžtas integralas paprastai pateikia bendrą diferencialinės lygties sprendimą.
