Populiacija ir standartinio nuokrypio pavyzdys
Statistikoje naudojami keli indeksai, apibūdinantys duomenų rinkinį, atitinkantį jo centrinę tendenciją, išsisklaidymą ir iškrypimą. Standartinis nuokrypis yra viena iš labiausiai paplitusių duomenų sklaidos iš duomenų rinkinio centro priemonių.
Dėl praktinių sunkumų patikrinus hipotezę nebus įmanoma panaudoti visos populiacijos duomenų. Todėl mes naudojame duomenų vertes iš imčių, kad padarytume išvadas apie populiaciją. Tokioje situacijoje jie vadinami įverčiais, nes jie įvertina populiacijos parametrų vertes.
Nepaprastai svarbu daryti išvadą nešališkais vertintojais. Teigiama, kad vertintojas nėra objektyvus, jei numatoma to įvertiklio vertė yra lygi populiacijos parametrui. Pavyzdžiui, imties vidurkį naudojame kaip objektyvų populiacijos vidurkio įvertį. (Matematiškai galima parodyti, kad laukiama imties vidurkio vertė yra lygi populiacijos vidurkiui). Įvertinant populiacijos standartinį nuokrypį, imties standartinis nuokrypis taip pat yra nešališkas įvertintojas.
Kas yra populiacijos standartinis nuokrypis?
Kai galima atsižvelgti į visos populiacijos duomenis (pavyzdžiui, surašymo atveju), galima apskaičiuoti populiacijos standartinį nuokrypį. Norint apskaičiuoti populiacijos standartinį nuokrypį, pirmiausia apskaičiuojami duomenų verčių nuokrypiai nuo populiacijos vidurkio. Vidutinis šaknies nuokrypių kvadratas (kvadratinis vidurkis) vadinamas populiacijos standartiniu nuokrypiu.
10 mokinių klasėje galima lengvai surinkti duomenis apie mokinius. Jei patikrinta hipotezė šiai studentų populiacijai, nereikia naudoti imties reikšmių. Pavyzdžiui, matuojama, kad 10 studentų svoris (kilogramais) yra 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 ir 79. Tada vidutinis dešimties žmonių svoris (kilogramais) yra (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, tai yra 71 (kilogramais). Tai yra gyventojų skaičiaus vidurkis.
Norėdami apskaičiuoti populiacijos standartinį nuokrypį, apskaičiuojame nuokrypius nuo vidurkio. Atitinkami nuokrypiai nuo vidurkio yra (70-71) = -1, (62-71) = -9, (65-71) = -6, (72-71) = 1, (80-71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 ir (79 - 71) = 8. Nukrypimo kvadratų suma yra (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Populiacijos standartinis nuokrypis yra √ (366/10) = 6,05 (kilogramais). 71 yra tikslus vidutinis klasės mokinių svoris, o 6,05 - tikslus svorio standartinis nuokrypis nuo 71.
Kas yra mėginio standartinis nuokrypis?
Kai populiacijos parametrams įvertinti naudojami imties (n dydžio) duomenys, apskaičiuojamas imties standartinis nuokrypis. Pirmiausia apskaičiuojami duomenų verčių nuokrypiai nuo imties vidurkio. Kadangi imties vidurkis naudojamas vietoj populiacijos vidurkio (kuris nežinomas), kvadratinio vidurkio imti netinka. Norint kompensuoti imties vidurkio naudojimą, nukrypimų kvadratų suma vietoj n padalijama iš (n-1). Standartinis nuokrypis yra kvadratinė šaknis. Matematiniuose simboliuose S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, kur S yra imties standartinis nuokrypis, ẍ yra imties vidurkis ir x i ’s yra duomenų taškai.
Dabar tarkime, kad ankstesniame pavyzdyje gyventojai yra visos mokyklos mokiniai. Tada klasė bus tik pavyzdys. Jei vertinant naudojamas šis pavyzdys, imties standartinis nuokrypis bus √ (366/9) = 6,38 (kilogramais), nes 366 buvo padalytas iš 9, o ne į 10 (imties dydis). Reikia pastebėti, kad negarantuojama, kad tai tiksli populiacijos standartinio nuokrypio vertė. Tai tik jo sąmata.
Kuo skiriasi populiacijos standartinis nuokrypis nuo imties standartinio nuokrypio?
• Populiacijos standartinis nuokrypis yra tiksli parametro reikšmė, naudojama matuojant dispersiją nuo centro, o imties standartinis nuokrypis yra objektyvus jo vertintojas.
• Populiacijos standartinis nuokrypis apskaičiuojamas, kai yra žinomi visi duomenys apie kiekvieną gyventojų individą. Kitaip apskaičiuojamas imties standartinis nuokrypis.
• Populiacijos standartinis nuokrypis pateikiamas σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n}, kur µ yra populiacijos vidurkis ir n yra populiacijos dydis, tačiau imties standartinis nuokrypis nurodomas S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} kur ẍ yra imties vidurkis ir n yra imties dydis.
