Logaritminė ir eksponentinė Eksponentinė ir logaritminė funkcija
Funkcijos yra viena iš svarbiausių matematinių objektų klasių, plačiai naudojama beveik visuose matematikos pogrupiuose. Jų pavadinimai rodo, kad eksponentinė funkcija ir logaritminė funkcija yra dvi specialios funkcijos.
Funkcija yra ryšys tarp dviejų rinkinių, apibrėžtų taip, kad kiekvieno pirmojo rinkinio elemento vertė, atitinkanti jį antrojoje aibėje, yra unikali. Tebūnie ƒ funkcija, apibrėžta iš aibės A į rinkinį B. Tada kiekvienam x ϵ A simbolis ƒ (x) žymi unikalią reikšmę rinkinyje B, kuri atitinka x. Jis vadinamas x atvaizdu pagal ƒ. Todėl ryšys ƒ iš A į B yra funkcija, jei ir tik tada, kai kiekvienam x ϵ A ir y ϵ A, jei x = y, tada ƒ (x) = ƒ (y). Aibė A vadinama funkcijos domain sritimi ir tai yra rinkinys, kuriame apibrėžta funkcija.
Kas yra eksponentinė funkcija?
Eksponentinė funkcija yra funkcija, kurią suteikia ƒ (x) = e x, kur e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2,718…) ir yra transcendentinis iracionalusis skaičius. Viena iš funkcijos ypatumų yra ta, kad funkcijos išvestinė yra lygi sau; ty kai y = e x, dy / dx = e x. Be to, ši funkcija yra nuolat didėjanti funkcija, turinti x ašį kaip asimptotą. Todėl ši funkcija taip pat yra „vienas su vienu“. Kiekvienam x ϵ R turime tą e x > 0 ir galima parodyti, kad jis yra ant R +. Taip pat seka pagrindinė tapatybė e x + y = e x.e y ir e 0= 1. Funkcija taip pat gali būti pavaizduota naudojant serijos išplėtimą, nurodytą 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 /3! +… + X n / n! +…
Kas yra logaritminė funkcija?
Logaritminė funkcija yra atvirkštinė eksponentinei funkcijai. Kadangi eksponentinė funkcija yra „vienas su vienu“ir „R +“, funkciją g galima apibrėžti iš teigiamų realiųjų skaičių aibės į realiųjų skaičių aibę, pateiktą g (y) = x, tik tada, jei = e x. Ši funkcija g vadinama logaritmine funkcija arba dažniausiai - natūraliuoju logaritmu. Tai žymima g (x) = log e x = ln x. Kadangi tai yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija, jei imsime eksponentinės funkcijos grafiko atspindį tiesėje y = x, turėsime logaritminės funkcijos grafiką. Taigi funkcija yra ašies besimptotinė.
Logaritminė funkcija vadovaujasi kai kuriomis pagrindinėmis taisyklėmis, iš kurių svarbiausios yra ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y ir ln xy = y ln x. Tai taip pat vis didėjanti funkcija ir ji yra tęstinė visur. Todėl jis taip pat yra vienas prie vieno. Galima parodyti, kad jis yra ant R.
Kuo skiriasi eksponentinė funkcija ir logaritminė funkcija?
• Eksponentinę funkciją pateikia ƒ (x) = e x, o logaritminę funkciją - g (x) = ln x, o pirmoji yra atvirkštinė.
• Eksponentinės funkcijos sritis yra realiųjų skaičių aibė, tačiau logaritminės funkcijos sritis yra teigiamų realiųjų skaičių aibė.
• Eksponentinės funkcijos diapazonas yra teigiamų realiųjų skaičių rinkinys, tačiau logaritminės funkcijos diapazonas yra realiųjų skaičių rinkinys.
