Pogrupiai ir tinkami pogrupiai
Visai natūralu suvokti pasaulį suskirstant daiktus į grupes. Tai yra matematinės koncepcijos, vadinamos „rinkinio teorija“, pagrindas. Rinkinių teorija buvo sukurta XIX amžiaus pabaigoje, o dabar ji yra visur matematikoje. Beveik visą matematiką galima gauti naudojant aibės teoriją kaip pagrindą. Aibės teorijos taikymas svyruoja nuo abstrakčios matematikos iki visų materialaus fizinio pasaulio subjektų.
Pogrupis ir tinkamas pogrupis yra dvi terminų rinkinio teorijoje dažnai vartojamos sąvokos, siekiant įvesti ryšius tarp aibių.
Jei kiekvienas aibės A elementas taip pat yra aibės B narys, aibė A vadinama B pogrupiu. Tai taip pat galima skaityti kaip „A yra B“. Formaliau kalbant, A yra B pogrupis, žymimas A⊆B, jei x∈A reiškia x∈B.
Bet kuri aibė yra tos pačios aibės pogrupis, nes akivaizdu, kad bet kuris aibėje esantis elementas taip pat bus toje pačioje aibėje. Mes sakome, kad „A yra tinkamas B pogrupis“, jei A yra B pogrupis, bet A nėra lygus B. Norėdami pažymėti, kad A yra tinkamas B pogrupis, mes naudojame žymėjimą A⊂B. Pavyzdžiui, rinkinyje {1,2} yra 4 pogrupiai, bet tik 3 tinkami pogrupiai. Nes {1,2} yra pogrupis, bet ne tinkamas {1,2} pogrupis.
Jei aibė yra tinkamas kito rinkinio pogrupis, jis visada yra to rinkinio pogrupis (ty jei A yra tinkamas B pogrupis, tai reiškia, kad A yra B pogrupis). Tačiau gali būti pogrupių, kurie nėra tinkami jų pogrupio pogrupiai. Jei du rinkiniai yra lygūs, tai jie yra vienas kito pogrupiai, bet nėra tinkami vienas kito pogrupiai.
Trumpai:
- Jei A yra B pogrupis, A ir B gali būti lygūs.
- Jei A yra tinkamas B pogrupis, A negali būti lygus B.
