Lygiagretainis ir stačiakampis
Lygiagretusis ir stačiakampis yra keturkampiai. Šių figūrų geometrija žmogui buvo žinoma tūkstančius metų. Tema yra aiškiai nagrinėjama graikų matematiko Euklido parašytoje knygoje „Elementai“.
Lygiagretainis
Lygiagretainį galima apibrėžti kaip geometrinę figūrą su keturiomis pusėmis, o priešingos kraštinės yra lygiagrečios viena kitai. Tiksliau, tai keturkampis su dviem poromis lygiagrečių šonų. Šis lygiagretus pobūdis suteikia daug geometrinių charakteristikų lygiagretainiams.
Keturkampis yra lygiagretainis, jei randamos šios geometrinės charakteristikos.
• Dvi priešingų pusių poros yra vienodo ilgio. (AB = DC, AD = BC)
• Dvi priešingų kampų poros yra vienodo dydžio. (
)
• Jei gretimi kampai yra papildomi
• Šonų, priešingų vienas kitam, pora yra lygiagreti ir vienodo ilgio. (AB = DC ir AB∥DC)
• Įstrižainės dalija viena kitą (AO = OC, BO = OD)
• Kiekviena įstrižainė padalija keturkampį į du sutampančius trikampius. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Be to, šonų kvadratų suma lygi įstrižainių kvadratų sumai. Tai kartais vadinama lygiagretainio dėsniu ir plačiai taikoma fizikoje ir inžinerijoje. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Kiekvieną iš aukščiau nurodytų charakteristikų galima naudoti kaip savybes, nustačius, kad keturkampis yra lygiagretainis.
Lygiagretainio plotą galima apskaičiuoti pagal vienos pusės ilgio ir aukščio į priešingą kraštinę sandaugą. Todėl lygiagretainio plotą galima nurodyti kaip
Lygiagretainio plotas = pagrindas × aukštis = AB × h
Lygiagretainio plotas nepriklauso nuo atskiro lygiagretainio formos. Tai priklauso tik nuo pagrindo ilgio ir statmeno aukščio.
Jei lygiagretainio kraštus galima vaizduoti dviem vektoriais, plotą galima gauti pagal dviejų gretimų vektorių vektoriaus sandaugos (kryžminio sandaugos) dydį.
Jei kraštines AB ir AD vaizduoja vektoriai (
) ir (
), lygiagretainio plotas nurodomas
kur α yra kampas tarp
ir
Toliau pateikiamos kelios lygiagretainio savybės;
• Lygiagretainio plotas yra dvigubai didesnis už bet kurios jo įstrižainės sukurto trikampio plotą.
• Lygiagretainio plotas padalijamas per pusę tiesės, einančios per vidurio tašką.
• Bet kokia ne degeneracinė afininė transformacija perima lygiagretainį į kitą lygiagretainį
• Lygiagretainis turi 2 eilės sukimosi simetriją
• Atstumų nuo bet kurio lygiagretainio vidinio taško iki šonų suma nepriklauso nuo taško vietos
Stačiakampis
Keturkampis su keturiais stačiaisiais kampais yra žinomas kaip stačiakampis. Tai yra specialus lygiagretainio atvejis, kai kampai tarp bet kurių dviejų gretimų kraštų yra stačiakampiai.
Be visų lygiagretainio savybių, atsižvelgiant į stačiakampio geometriją, galima atpažinti ir papildomas charakteristikas.
• Kiekvienas kampas viršūnėse yra stačias.
• Įstrižainės yra vienodo ilgio ir jos viena kitą dalija. Todėl pjūvio pjūviai taip pat yra vienodo ilgio.
• Įstrižainių ilgį galima apskaičiuoti naudojant Pitagoro teoremą:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Ploto formulė sumažėja iki ilgio ir pločio sandaugos.
Stačiakampio plotas = ilgis × plotis
• Stačiakampyje yra daug simetriškų savybių, tokių kaip;
- Stačiakampis yra ciklinis, kai visos viršūnės gali būti išdėstytos apskritimo perimetre.
- Tai yra stačiakampis, kur visi kampai yra vienodi.
- Jis yra izogonalus, kai visi kampai yra vienoje simetrijos orbitoje.
- Jis turi ir atspindžio simetriją, ir sukimosi simetriją.
Kuo skiriasi paralelograma ir stačiakampis?
• Lygiagretainis ir stačiakampis yra keturkampiai. Stačiakampis yra specialus lygiagretainių atvejis.
• Bet kurio ploto plotą galima apskaičiuoti pagal formulę bazė × aukštis.
• Atsižvelgiant į įstrižas;
- Lygiagretainio įstrižainės padalija viena kitą į dvi dalis, o lygiagretainį padalija į dvi dalis, kad susidarytų du sutampantys trikampiai.
- Stačiakampio įstrižainės yra vienodo ilgio ir viena kitą dalija dvi dalis; pjūvio pjūviai yra vienodo ilgio. Įstrižainės stačiakampį padalija į du vienodus stačiuosius trikampius.
• Atsižvelgiant į vidinius kampus;
- Priešingieji lygiagretainio vidiniai kampai yra vienodo dydžio. Du gretimi vidiniai kampai yra papildomi
- Visi keturi vidiniai stačiakampio kampai yra stačiakampiai.
• Atsižvelgiant į šonus;
- Lygiagretainyje šonų kvadratų suma lygi įstrižainės kvadratų sumai (lygiagretainio dėsnis)
- Stačiakampiuose dviejų gretimų kraštų kvadratų suma lygi įstrižainės kvadratui galuose. (Pitagoro taisyklė)
