Integracijos Ir Apibendrinimo Skirtumas

2024 Autorius: Mildred Bawerman | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-16 08:40

Integracija vs apibendrinimas

Aukščiau esančios matematikos matematikoje matematikos operacijose dažnai randama integracija ir sumuojimas. Panašu, kad jie naudojami kaip skirtingos priemonės ir skirtingose situacijose, tačiau jie sieja labai artimus santykius.

Daugiau apie apibendrinimą

Apibendrinimas yra skaičių sekos pridėjimo operacija, o operacija dažnai žymima graikiška didžiosios sigma letter raide. Jis naudojamas sutrumpinti sumą ir lygus sekos sumai / sumai. Jie dažnai naudojami vaizduoti serijas, kurios iš esmės yra begalinės sekos, susumuotos. Jie taip pat gali būti naudojami vektorių, matricų ar daugianarių sumai nurodyti.

Paprastai sumuojama reikšmių diapazonas, kurį galima pateikti bendruoju terminu, pavyzdžiui, eilutė, turinti bendrą terminą. Sumuojimo pradžios ir pabaigos taškai yra vadinami atitinkamai apatine ir viršutine sumuojimo riba.

Pvz., Sekos a ₁, ₂, ₃, ₄,…, a _n suma yra ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, kurią galima lengvai pavaizduoti naudojant sumavimo žymėjimą kaip ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; i vadinamas apibendrinimo indeksu.

Pagal programą susumuojant naudojama daugybė variantų. Kai kuriais atvejais viršutinė ir apatinė ribos gali būti nurodytos kaip intervalas arba diapazonas, pvz., ∑ _1≤i≤100 a _i ir ∑ _{i∈ [1100]} a _i. Arba jis gali būti pateiktas kaip skaičių aibė, pvz., ∑ _i∈P a _i, kur P yra apibrėžtas rinkinys.

Kai kuriais atvejais galima naudoti du ar daugiau sigmos ženklų, tačiau juos galima apibendrinti taip; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Be to, sumuojant laikomasi daugybės algebrinių taisyklių. Kadangi įterptoji operacija yra papildymas, daugelį įprastų algebros taisyklių galima pritaikyti pačioms sumoms ir atskiriems sumuojant pavaizduotiems terminams.

Daugiau apie integraciją

Integracija apibrėžiama kaip atvirkštinis diferenciacijos procesas. Tačiau geometriniu požiūriu tai taip pat gali būti laikoma plotu, uždarytu funkcijos kreivės ir ašies. Todėl apskaičiuojant plotą gaunama apibrėžto integralo vertė, kaip parodyta diagramoje.

Vaizdo šaltinis:

Tikrojo integralo vertė iš tikrųjų yra mažų kreivės viduje esančių juostų ir ašies suma. Kiekvienos juostos plotas yra aukštis × plotis nagrinėjamos ašies taške. Plotis yra vertė, kurią galime pasirinkti, sakykime ∆x. O aukštis yra apytiksliai funkcijos vertė nagrinėjamame taške, sakykime f (x _i). Iš diagramos matyti, kad kuo mažesnės juostelės, tuo geriau juostos telpa riboto ploto viduje, taigi ir vertė geriau priartinama.

Taigi apskritai apibrėžtas integralas I tarp taškų a ir b (ty intervale [a, b], kur a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, kur n yra juostų skaičius (n = (ba) / ∆x). Šį ploto sumuojimą galima lengvai pavaizduoti naudojant sumavimo žymėjimą, nes I as ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Kadangi apytikslė vertė yra geresnė, kai ∆x yra mažesnė, galime apskaičiuoti vertę, kai ∆x → 0. Todėl tikslinga sakyti I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Kaip apibendrinimą iš minėtos koncepcijos, mes galime pasirinkti ∆x pagal nagrinėjamą intervalą, kurį indeksuoja i (pasirinkdami ploto plotį pagal padėtį). Tada mes gauname

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Tai vadinama funkcijos f (x) „Reimann Integral“intervalu [a, b]. Šiuo atveju a ir b yra žinomi kaip viršutinė ir apatinė integralo ribos. Reimann integralas yra pagrindinė visų integracijos metodų forma.

Iš esmės integracija yra srities suma, kai stačiakampio plotis yra begalinis.

Kuo skiriasi integracija ir sumavimas?

• Apibendrinimas yra skaičių sekos sumavimas. Paprastai apibendrinimas pateikiamas tokia forma ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, kai sekos terminai turi modelį ir gali būti išreikšti naudojant bendrą terminą.

• Integracija iš esmės yra plotas, kurį riboja funkcijos kreivė, ašis ir viršutinė bei apatinė ribos. Ši sritis gali būti pateikiama kaip daug mažesnių plotų, įtrauktų į ribojamą plotą, suma.

• Sumavimas apima atskiras reikšmes su viršutine ir apatine ribomis, o integravimas apima nenutrūkstamas reikšmes.

• Integraciją galima interpretuoti kaip specialią sumavimo formą.

• Taikant skaitmeninius skaičiavimo metodus, integracija visada atliekama kaip apibendrinimas.